Как найти уравнение медианы треугольника по координатам вершин


Дано координаты вершин треугольника А(-6;8) В(6,-1) С(4,13)

Найти:
1. Уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты.
2. Угол В в радианах с точностью до двух знаков
3.Длину стороны АВ
4.Уравнение высоты CD и ее длину.
5. Уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечение этой медианы с высотой CD.
6.Уравнение прямой что проходит через точку К параллельно к стороне АВ.
7. Координаты точки М которая симметрична точке А относительно прямой CD.

Лучший ответ

1. Уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты.
В задании даны координаты точек, через которые проходят эти прямые, поэтому воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки $$\frac=\frac$$ подставляем и получаем уравнения
уравнение прямой AB $$\frac<6+6>=\frac<-1-8> => y = -\frac<3><4>x + \frac<7><2>$$ угловой коэффициент прямой AB равен \(k_ = -\frac<3><4>\)
уравнение прямой BC $$\frac<6-4>=\frac<-1-13> => y = -7x + 41$$ угловой коэффициент прямой BC равен \(k_ = -7\)

2. Угол В в радианах с точностью до двух знаков
Угол B - угол между прямыми AB и BC, который рассчитывается по формуле $$tg\phi=|\frac<1+k_2*k_1>|$$подставляем значения угловых коэффициентов этих прямых и получаем $$tg\phi=|\frac<-7+\frac<3><4>><1+7*\frac<3><4>>| = 1 => \phi = \frac<\pi><4> \approx 0.79$$
3.Длину стороны АВ
Длина стороны AB рассчитывается как расстояние между точками и равна \(d = \sqrt<(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2>\) => $$d_ = \sqrt<(6+6)^2+(-1-8)^2> = 15$$
4.Уравнение высоты CD и ее длину.
Уравнение высоты будем находить по формуле прямой проходящей через заданную точку С(4;13) в заданном направлении - перпендикулярно прямой AB по формуле \(y-y_0=k(x-x_0)\).

Найдем угловой коэффициент высоты \(k_\) воспользовавшись свойством перпендикулярных прямых \(k_1=-\frac<1>\) получим $$k_= -\frac<1>> = -\frac<1><-\frac<3><4>> = \frac<4><3>$$ Подставляем в уравнение прямой, получаем $$y - 13 = \frac<4><3>(x-4) => y = \frac<4><3>x+\frac<23><3>$$ Длину высоты будем искать как расстояние от точки С(4;13) до прямой AB по формуле $$d = \frac<\sqrt>$$ в числителе уравнение прямой AB, приведем его к этому виду \(y = -\frac<3><4>x + \frac<7><2> => 4y+3x-14 = 0\). подставляем полученное уравнение и координаты точки в формулу $$d = \frac<4*13+3*4-14 ><\sqrt<4^2+3^2>> = \frac<50><5> =10$$

5. Уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечение этой медианы с высотой CD.
Уравнение медианы будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А(-6;8) и E. где точка E - середина между точками B и C и ее координаты находятся по формуле \(E(\frac<2>;\frac<2>)\) подставляем координаты точек \(E(\frac<6+4><2>;\frac<-1+13><2>)\) => \(E(5; 6)\), тогда уравнение медианы AE буде следующее $$\frac<5+6>=\frac<6-8> => y = -\frac<2><11>x + \frac<76><11>$$Найдем координаты точки пересечения высот и медианы, т.е. найдем их общую точку Для этого составим систему уравнение $$\beginy = -\frac<2><11>x + \frac<76><11>\\y = \frac<4><3>x+\frac<23><3>\end=>\begin11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end=>$$$$\begin22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end=> \begin25y =175\\3y = 4x+23\end=> $$$$\beginy =7\\ x=-\frac<1><2>\end$$ Координаты точки пересечения \(K(-\frac<1><2>;7)\)

6.Уравнение прямой что проходит через точку К параллельно к стороне АВ.
Если прямая параллельны, то их угловые коэффициенты равны, т.е.

\(k_=k_ = -\frac<3><4>\). также известны координаты точки \(K(-\frac<1><2>;7)\), т.е. для нахождения уравнения прямой применим формулу уравнения прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении \(y - y_0=k(x-x_0)\), подставляем данные и получаем $$y - 7= -\frac<3><4>(x-\frac<1><2>) => y = -\frac<3><4>x + \frac<53><8>$$

8. Координаты точки М которая симметрична точке А относительно прямой CD.
Точка M лежит на прямой AB, т.к. CD - высота к этой стороне. Найдем точку пересечения CD и AB для этого решим систему уравнений $$\beginy = \frac<4><3>x+\frac<23><3>\\y = -\frac<3><4>x + \frac<7><2>\end =>\begin3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end => $$$$\begin12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end =>
\begin0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end => $$$$\beginx=-2\\y=5 \end$$ Координаты точки D(-2;5). По условию AD=DK, это расстояние между точками находится по формуле Пифагора \(d = \sqrt<(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2>\), где AD и DK - гипотенузы равных прямоугольных треугольников, а \(Δx =x_2-x_1\) и \(Δy=y_2-y_1\) - катеты этих треугольников, т.е. найдем катеты найдем и координаты точки M. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), а \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), тогда координаты точки M будут равны \(x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), а \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \), получили, что координаты точки \(M(2;2)\)

9. Нанесем точки и прямые на декартовую систему координат



уравнение, прямой,, проходящей, через, две, точки, свойства, прямых:Дано координаты вершин треугольника А(-6;8) В(6,-1) С(4,13)Найти:1. Уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты.2. Угол В в радианах с точностью до двух знаков 3.Длину стороны АВ 4.Уравнение высоты CD и ее длину.5. Уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечение этой медианы

как найти уравнение медианы треугольника по координатам вершин