Как перемножать степени с разными основаниями и показателями


Свойства степени

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1
Произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

a m · a n = a m + n. где a — любое число, а m, n — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

  • Упростить выражение.
    b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
  • Представить в виде степени.
    6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
  • Представить в виде степени.
    (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями. Оно не относится к их сложению.

Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2 ) на 3 5. Это понятно, если посчитать 3 3 = 27 и 3 2 = 9; 27 + 9 = 36, а 3 5 = 243

Свойство № 2
Частное степеней

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

= a m − n. где a — любое число, не равное нулю, а m, n — любые натуральные числа такие, что m > n.

  • Записать частное в виде степени
    (2b) 5.

    (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

  • Вычислить.

11 3 · 4 2

= 11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
  • Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
    3 8. t = 3 4

    Ответ: t = 3 4 = 81

  • Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

    • Пример. Упростить выражение.
      4 5m + 6 · 4 m + 2. 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2. 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
  • Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

    Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

    Нельзя заменять разность (4 3 −4 2 ) на 4 1. Это понятно, если посчитать 4 3 = 64 и 4 2 = 16; 64 −16 = 48, а 4 1 = 4

    Свойство № 3
    Возведение степени в степень

    При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

    (a n ) m = a n · m. где a — любое число, а m, n — любые натуральные числа.

    • Пример.
      (a 4 ) 6 = a 4 · 6 = a 24
    • Пример. Представить 3 20 в виде степени с основанием 3 2 .

    По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

  • Свойства 4
    Степень произведения

    При возведении степени в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель и результаты перемножаются.

    (a · b) n = a n · b n. где a, b — любые рациональные числа; n — любое натуральное число.

    (6 · a 2 · b 3 · c ) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
  • Пример 1.

    (−x 2 · y) 6 = ( (−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6 ) = x 12 · y 6

  • Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

    (a n · b n )= (a · b) n

    То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

    2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Пример.

    Вычислить.

    0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1

  • В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

    Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

    Пример возведения в степень десятичной дроби.

    4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

    Свойства 5
    Степень частного (дроби)

    Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

    (a. b) n = a n. b n. где a, b — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

    • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
      (5. 3) 12 = 5 12. 3 12

    Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.



    войства степеней, свойства n степени, свойства n ой степени, свойства степени с натуральным показателем, произведение степеней, частное степеней, возведение степени в степень, степень произведения, степень частного (дроби). :Урок: свойства степени. Вы найдете разбор типовых примеров и задач.

    как перемножать степени с разными основаниями и показателями